EJERCICIOS DE BOOLE.
1.- Demostrar
que cada aserción o identidad algebraica deducible de los postulados del
álgebra de Boole sigue siendo válida si las operaciones " + " y
" . " y los elementos identidad (1 y 0) se intercambian entre si.
Tomando los
postulados (a) de Huntigton e intercambiando en ellos los operadores y
elementos identidad resulta.
Solución:
Es decir, que a
partir de los postulados (a) se obtienen los postulados (b). Esto demuestra lo
que nos habíamos propuesto.
2.- De las siguientes sentencias o frases, ¿cuales representan
proposiciones?
a) 3 es un número
primo
b) cuando se añade 5 a 7, la suma es 14
c) Existen seres vivos en Venus
d) Esta sentencia que Vd está leyendo es falsa
e) ¿Es primo el número ll?
b) cuando se añade 5 a 7, la suma es 14
c) Existen seres vivos en Venus
d) Esta sentencia que Vd está leyendo es falsa
e) ¿Es primo el número ll?
Si la sentencia p es "el buen tiempo es agradable" escribir
p' de varias formas.
Solución:
Las frases a), b) y c) SI son proposiciones porque son sentencias
declarativas libres de ambigüedad. Están expresadas en modo gramatical
indicativo. Las frases d) y e) NO son proposiciones. La primera de ellas porque
es una paradoja y está sujeta a ambigüedad; la segunda porque no está expresada
en modo gramatical indicativo.
Para la sentencia p' de la segunda parte podemos escribir, por ejemplo:
Para la sentencia p' de la segunda parte podemos escribir, por ejemplo:
"el buen tiempo no es agradable"
" No es cierto que el buen tiempo sea agradable"
" No es cierto que el buen tiempo sea agradable"
3.- Sea p
cierta, q falsa y r una proposición que puede ser cierta o falsa, ¿que se puede
decir de las siguientes proposiciones?
p.p'
; p + r ;
(p.q + r)(p + r)
b)
Escribir en castellano razonable la negación de la proposición p + q, siendo:
p:
"el número 15 es par"
q:
"hay un número que, cuando se añade a 6, da una suma de 13"
Para la
primera proposición tenemos que es siempre falsa, puesto que la conjunción de
dos proposiciones es cierta sólo cuando sean ciertas ambas, y no puede ocurrir
que p y p' sean ciertas al mismo tiempo.
La
segunda proposición es cierta en todo caso, puesto que para ser cierta la
disyunción de dos proposiciones sólo es necesario que sea cierta una de ellas y
en esta ocasión p lo es.
La
tercera proposición la resolvemos calculando su tabla de verdad:
Puesto
que p y q son respectivamente una tautología y una contradicción, la
proposición estudiada es equivalente a la proposición r.
Para la
segunda parte, teniendo en cuenta las leyes de Morgan podemos escribir:
Y, por lo
tanto:
"El
número 15 NO es par y no hay un número que cuando se añade a 6 da una suma de
13"
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